Effective Action of a Finite Serial Metallic Islands System

Abstract

In this thesis, we present a calculation of the effective action of a finite serial metallic island system by imaginary-time path integrals formalism. To this purpose, all electronic excitations in the lead and island electrodes are described using Grassmann numbers. Coulomb charging energy of the system is represented in terms of phase fields conjugate to the island charges. For metallic oxide-layer tunnel junctions with many tunneling channels, the tunneling action phase dependence can also be determined explicitly. Therefore, one obtains a representation of the partition function as a path integral over phase fields with a path probability given in terms of an analytically know effective action functional. Furthermore, we propose a calculation of the average electron number on each island in terms of effective action. Finally, as the demonstrations, the Coulomb blockade effect in 2 and 4 island systems are described in terms of the average electron number.

For the two-island system, we have calculated the average electron numbers and found that the average electron numbers increase as a step function with the two gate voltage variables. Due to the reduction of the Coulomb blockade effect, the sharpness of the step function is smeared out by increasing temperature. Furthermore, we propose a new method to construct a stability diagram of the two island system by a projection image of the total average electron number on the gate voltage variables plane. The stability diagram is able to describe the occurring of the Coulomb blockade effect very well. Since the tunneling effect is considered, the stability diagram is called the quantum stability diagram. In addition, the differences of the average electron number respected with the gate voltage variables are calculated. We found that the maximum point of this quantity is the independence of temperature. Finally, for very low temperatures until the tunneling effect is neglected, the stability diagrams of the four-island system are constructed in two cases in which n02 and n03 are identified and equal 0.0 and 0.5, respectively. We found that the stability diagram shows the quadrupole points in the final case, where an electron can reach four energy states. Moreover, the quantum cellular automata process that two-electrons tunnel simultaneously is also shown in this stability diagram.

ในวิทยานิพนธ์นี้ ได้นำเสนอวิธีการคำนวณแอคชันยังผลของระบบเกาะโลหะจำนวนจำกัดที่ต่อแบบอนุกรมด้วยวิธีการคำนวณปริพันธ์ตามวิถีในเวลาจินตภาพ โดยบรรยายอิเล็กตรอนที่อยู่ในสถานะถูกกระตุ้นทั้งหมด ที่อยู่ในขั้วไฟฟ้าและในเกาะโลหะด้วยตัวแปรแกรสมันน์ พลังงานการเพิ่มประจุของระบบถูกเขียนให้อยู่ในรูปของตัวแปรเฟสซึ่งเป็นตัวแปรสังยุคของจำนวนอิเล็กตรอนที่อยู่ในเกาะโลหะ ในกรณีที่รอยต่อเป็นโลหะออกไซด์ซึ่งมีช่องการทะลุผ่านเป็นจำนวนมาก ทำให้แอคชันของการทะลุผ่านที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรเฟสนั้นสามารถคำนวณได้โดยตรง ดังนั้น ฟังก์ชันแบ่งส่วนสามารถเขียนให้อยู่ในรูปปริพันธ์ตามวิถีของตัวแปรเฟส โดยความน่าจะเป็นของเส้นทางถูกเขียนอยู่ในพจน์ของแอคชันยังผลของระบบ นอกจากนั้น ในวิทยานิพนธ์นี้ได้นำเสนอวิธีการคำนวณจำนวนอิเล็กตรอนเฉลี่ยของระบบเกาะโลหะจำนวนจำกัดที่ต่อแบบอนุกรมให้อยู่ในพจน์ของแอคชันยังผล พร้อมทั้งได้ยกตัวอย่าง การคำนวณจำนวนอิเล็กตรอนเฉลี่ยเพื่อนำไปประยุกต์ใช้ในการอธิบายปรากฏการณ์ขัดขวางแบบคูลอมบ์ที่เกิดขึ้นในระบบสองและสี่เกาะโลหะ

สำหรับระบบสองเกาะโลหะ จากผลการคำนวณจำนวนอิเล็กตรอนเฉลี่ยในระบบ พบว่า การเพิ่มขึ้นของจำนวนอิเล็กตรอนเฉลี่ยมีลักษณะเป็นแบบขั้นบันได โดยความคมชัดของขั้นบันไดจะถูกลบเลือนไปเมื่ออุณหภูมิเพิ่มสูงขึ้น ซึ่งเป็นผลเนื่องจาก การลดลงของปรากฏการณ์ขัดขวางแบบคูลอมบ์นั่นเอง นอกจากนั้น ได้นำเสนอวิธีการสร้างแผนภาพเสถียรแบบใหม่ของระบบ 2 เกาะโลหะ โดยใช้ภาพฉายของจำนวนอิเล็กตรอนเฉลี่ยรวมบนระนาบของตัวแปรแรงดันไฟฟ้าที่ข้้วเกต พบว่า ภาพฉายดังกล่าวสามารถใช้อธิบายการเกิดขึ้นของปรากฏการณ์ขัดขวางแบบคูลอมบ์ได้เป็นอย่างดี เนื่องจากแผนภาพเสถียรนี้ ได้พิจารณาผลของปรากฏการณ์การทะลุผ่านร่วมด้วย ดังนั้น แผนภาพเสถียรนี้จึงถูกเรียกว่า แผนภาพเสถียรแบบควอนตัม จากนั้น เมื่อพิจารณาการเปลี่ยนแปลงของจำนวนอิเล็กตรอนเฉลี่ยรวมของระบบเมื่อเทียบกับแรงดันไฟฟ้าที่ขั้วเกต พบว่า จุดที่เกิดการเปลี่ยนแปลงสูงที่สุดมีค่าคงที่ ไม่ขึ้นอยู่อุณหภูมิ นอกจากนั้น วิทยานิพนธ์นี้ได้แสดงวิธีการสร้างแผนแผนภาพเสถียรของระบบสี่เกาะโลหะ ในกรณีที่อุณหภูมิมีค่าต่ำๆ จนสามารถละเลยผลของปรากฏการณ์การทะลุผ่านได้ โดยแบ่งการพิจารณาสองกรณี กล่าวคือ กำหนดให้แรงดันไฟฟ้าขั้วเกตที่ 2 และ 3 เท่ากัน มีค่าเป็น 0.0 และ 0.5 ตามลำดับ และเปลี่ยนแปลงเฉพาะแรงดันไฟฟ้าเฉพาะขั้วเกตที่ 1 และ 4 พบว่า แผนภาพเสถียรดังกล่าว สามารถแสดงจุดควอรูเปิลพ้อยต์ (quadrupole point) ซึ่งเป็นจุดที่อิเล็กตรอนสามารถมีระดับพลังงานเท่ากัน 4 สถานะ ยิ่งไปกว่านั้น กระบวนการควอนตัมเซลล์ลูลาร์ออโตมาต้า (quantum cellular automata process) ซึ่งเป็นปรากฏการณ์ที่อิเล็กตรอนสองตัวทะลุผ่านไปพร้อมกัน ก็ได้แสดงไว้ในแผนภาพเสถียรนี้ด้วยเช่นกัน